Latihan Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika

Sabtu, 27 Januari 2024

 

1.    Untuk setiap rumusan P(k) yang diberikan, tentukan masing-masing 𝑃(𝑘 + 1).

Alternatif Penyelesaian:

Untuk setiap rumusan P(k) yang diberikan, tentukan masing-masing 𝑃(𝑘 + 1).

2.    Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus berikut benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus berikut benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

a.     2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Misalkan P(n) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Langkah Dasar:
Untuk n = 1, diperoleh P(1) = 2 = 1(1 + 1) = 1(2)
Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan
P(k) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
P(k + 1) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari (𝑘 + 1) sama, maka (𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

Langkah Dasar:
Untuk n = 1, diperoleh 

Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari (𝑘 + 1) sama, maka (𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

c.     (1.1!) + (2.2!) + (3.3!) + ⋯ + (𝑛. 𝑛!) = (𝑛 + 1)! – 1
Misalkan P(n) = (1.1!) + (2.2!) + (3.3!) ... (n.n!) = (n + 1)! – 1

Langkah Dasar:
Untuk n = 1, diperoleh P(1) = (1.1!) = (1 + 1)! – 1
                                   ⇔ 1 = 2! – 1 = 2 – 1
Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

P(k) = (1.1!) + (2.2!) + (3.3!) + ... + (k.k!) = (k + 1)! – 1

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

P(k + 1) = (1.1!) + (2.2!) + (3.3!) + ... + (k.k!) + ((k + 1)! . (k + 1)!)

                                = ((k + 1) + 1)! – 1

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari (𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

      

Langkah Dasar:

Untuk n = 1, diperoleh:

        

Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

e.     2(1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^{𝑛 – 1}) = 3^𝑛 – 1
Misalkan P(n) = 2(1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^{𝑛 – 1}) = 3^𝑛 – 1
Langkah Dasar:
Untuk n = 1, diperoleh P(1) = 2(1) = 3¹ – 1
                                   ⇔ 2 = 3 – 1
Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan;

P(k) = 2(1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^{k – 1}) = 3^k – 1

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

P(k + 1) = 2(1 + 3 + 3² + 3³ + ⋯ + ^{3(k  + 1) – 1}) = 3^{k + 1} – 1

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika. Please share...!