Kegiatan Pembelajaran 1: Fungsi Eksponen

Senin, 12 Agustus 2024

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan peserta didik dapat menjelaskan konsep fungsi eksponen, mengidentifikasi sifat-sifat fungsi eksponen, menggambarkan grafik fungsi eksponen, dan menyelesaikan masalah terkait fungsi eksponen.

B. Uraian Materi

Untuk menyegarkan kembali ingatan Kalian tentang bilangan berpangkat (eksponen) yang sudah dipelajari di SMP, perhatikan sifat-sifat bilangan berpangkat berikut.

Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut:

Untuk memahami penggunaan sifat-sifat bilangan berpangkat di atas, perhatikan contoh berikut.

Contoh

Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bilangan bulat positif.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk memahami fungsi eksponen, coba Kalian perhatikan masalah berikut.

Seorang pedagang baju selalu mencatat penjualan dagangannya setiap hari seperti dalam tabel berikut:

Pada bentuk urutan dari baris ke-1 dengan baris ke-3 di atas merepresentasikan suatu fungsi satu-satu dengan domain bilangan asli.

Fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 merupakan salah satu fungsi eksponen, sehingga perkembangan baju terjual tersebut merupakan salah satu contoh dari fungsi eksponen yang domainnya adalah bilangan cacah.

Fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑎^𝑥 , dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 disebut fungsi eksponen, yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan positif. Bentuk umum fungsi eksponen adalah 𝑓: 𝑥 → 𝑎^𝑥 atau f(𝑥) = 𝑎^𝑥 dengan a > 0 dan a ≠ 1. Pada fungsi eksponen f(𝑥) = 𝑎^𝑥, 𝑥 disebut peubah dan daerah asal (domain) dari fungsi eksponen adalah himpunan bilangan real yaitu Df : {−∞ < 𝑥 < +∞, 𝑥 ∈ 𝑅}

Dari uraian di atas, Kalian dapat menyimpulkan bahwa fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real k𝑎𝑥, dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis) dengan a > 0 dan a ≠ 1.

Fungsi eksponen ini adalah salah satu fungsi yang cukup penting dalam matematika. Fungsi eksponen banyak sekali penerapannya, dan tidak hanya dalam matematika saja tetapi banyak pula berkaitan dengan pertumbuhan dan peluruhan. Selain itu nanti kita akan melihat, bahwa fungsi ini erat sekali hubungannya dengan fungsi logaritma.

Contoh fungsi eksponen:

Menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

1.    Buat daftar atau tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai x dengan nilai-nilai y = f(x) = a^x.

2.   Titik-titik dengan koordinat (x, y) yang diperoleh digambarkan pada bidang kartesius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi eksponen y = f(x) = a^x.

Sebagai contoh, kita akan menggambar grafik fungsi .

Mula-mula dibuat tabel nilai fungsi berikut.

Dengan memperhatikan gambar di atas terlihat bahwa:

a.    Domain kedua fungsi adalah himpunan semua bilangan real, Df = {x | x ϵ Ɍ} atau (-∞, ∞).

b.    Rangenya berupa himpunan semua bilangan real positif, Rf = {y | y > 0, y ϵ Ɍ} atau (0, ∞).

c.    Kedua grafik melalui titik (0, 1).

d.    Kurva mempunyai asimtot datar yaitu garis yang didekati fungsi tapi tidak akan berpotongan dengan fungsi, sumbu X (garis y = 0).

e.     Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

f.      Grafik 𝑓(𝑥) = 2𝑥 merupakan grafik yang monoton naik, sedangkan grafik  merupakan grafik yang monoton turun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif).

 

Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑎^𝑥 , untuk 𝑎 > 1 adalah fungsi naik dan untuk 0 < 𝑎 < 1 adalah fungsi turun. Karena range dari 𝑓 adalah bilangan positif dan 𝑎⁰ = 1, maka grafik fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑎^𝑥 untuk 𝑎 > 0 terletak di atas sumbu 𝑥 dan melalui titik (0, 1).

Contoh

Lukislah grafik fungsi  pada interval −3 ≤ 𝑥 ≤ 3.

Alternatif Penyelesaian:

Buat tabel nilai fungsi berikut.

Dari tabel nilai fungsi kita dapatkan pasangan koordinat kartesius sebagai berikut:

Sketsa grafik fungsi .

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Fungsi Eksponen. Please share...!