Bilangan real adalah himpunan semua bilangan rasional dan irasional, yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. Bilangan ini biasanya dilambangkan dengan huruf R.
Jika x, y
dan z adalah bilangan real, maka berlaku sifat sifat operasi aljabar
pada bilangan real,
yaitu:
1. Hukum Komutatif
penjumlahan: x + y = y + x
2. Hukum komutatif
perkalian xy = yx
3. Hukum Asosiatif
penjumlahan: x + (y + z) = (x + y) + z
4. Hukum asosiatif
perkalian: x(yz) = (xy)z
5. Hukum
Distribusi: x(y + z) = xy + xz
6. Elemen Identitas
terhadap penjumlahan yaitu angka 0, sehingga x + 0 = 0 + x = x
7. Elemen Identitas
terhadap perkalian yaitu angka 1, sehingga x.1 = 1. x = x
8. Elemen Invers
penjumlahan adalah negatif dari bilangan tersebut (kecuali nol)
9. Elemen Invers
perkalian adalah kebalikan dari bilangan tersebut (kecuali nol)
10. Sifat trikotomi,
yaitu Jika x dan y bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari kemungkinan x < y
atau x = y atau x > y.
11. Sifat Transitif,
yaitu jika x < y dan y < z maka x <
z
Selanjutnya
akan dijelaskan pula tentang bilangan imajiner. Bilangan imajiner atau bilangan hayal dan dilambangkan
dengan i adalah bilangan yang mempunyai sifat:
Kemudian
akan didefinisikan bilangan kompleks yang biasa dilambangkan dengan z, yaitu bilangan yang dinyatakan dalam
bentuk z = x + by, dimana x dan y adalah bilangan real dan . Dalam hal ini x dinamakan bagian real dan y
bagian imajiner dari
z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z
biasanya dinyatakan dengan
Re(z) dan Im(z).
Himpunan
semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ Jadi ℂ = {z | z
= x + iy, x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}. Jika Im(z) = 0 maka bilangan
kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah
keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ ⊂ ℂ. Jika Re(z) = 0
dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy
dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni
dengan y = 0, yakni bilangan i, dinamakan satuan imajiner Bilangan
kompleks z1= x1+ iy1
dan bilangan kompleks z2 = x2+
iy2 dikatakan sama, z1 = z2,
jika dan hanya jika x1 = x2
dan y1 = y2.
Untuk
bilangan kompleks z1= x1+ iy1 dan kompleks z2
= x2+ iy2 maka jumlah dan hasil kali bilangan kompleks berturut-turut didefinisikan
sebagai berikut:
a. z1 = z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
b. z1 • z2 = (x1 x2 – y1 y2) + i(x1 y2 + x2 y2)
Adapun
sifat-sifat yang berlaku pada bidang bilangan kompleks z1, z2
dan z3 adalah sebagai berikut:
1. z1 + z2
∈ ℂ dan z1 • z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)
2. z1 + z2
= z2 + z1
dan z1 • z2 = z2
• z1 (sifat komutatif)
3. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1 • z2) • z3 = z1 • (z2 • z3) (sifat asosiatif)
4. z1 • (z2 + z3) = (z1 • z2) + (z1
• z3) (sifat distributif)
5. Ada 0 = 0 + i0 ∈ ℂ, sehingga z + 0 = z (0 elemen netral penjumlahan)
6. Ada 1 = 1 + i0 ∈ ℂ, sehingga z • 1
= z (1 elemen netral perkalian)
7. Untuk setiap z
= x + iy ∈ ℂ,
ada –z = –x – iy
sehingga z + (–z) = 0
(Invers penjumlahan)
8. Untuk setiap z
= x + iy ∈ ℂ,
ada z – 1
= 1/z, sehingga z • z – 1 = 1. (Invers perkalian)
Jika z =
x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z
ditulis z, didefinisikan
sebagai z = x – iy. Contoh: Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i,
dan sekawan dari 5i
adalah –5i.
Operasi
aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
a. Jika z bilangan
kompleks, maka:
b. Jika z1,
z2 bilangan kompleks, maka:
Sumber
Thanks for reading Bilangan Real Dan Imajiner. Please share...!
